Mais c’est bien sûr!

Attends… Quoi?? Mais de quoi on parle là??

Nous aussi ça nous a interpellés!

Instantanément s’est formée dans notre cerveau une image improbable d’une table de billard convexe et ovale, et très probablement injouable ! Et pourquoi créer une telle chose ? Pour qui ? Vous n’allez quand même pas nous dire qu’il existe une équipe olympique de #BillardConvexeOvale ??

Forts de ces considérations quasi-métaphysiques, on creuse. Et on se plonge plus avant dans cette étude qui nous est arrivée entre les mains, sur les billards convexes ovales.

Un billard mathématique, c’est pas un billard normal ?

Dès les premières lignes, tout s’éclaire (enfin… tout commence à s’éclairer, plutôt à la façon d’une ampoule à économie d’énergie…). Les auteurs, Vadim Kaloshin et Alfonso Sorrentino, chercheurs en mathématiques entre les Etats-Unis, la Suisse et l’Italie, nous apprennent ce qu’est un billard mathématique.

Un billard mathématique, c’est PRESQUE un billard normal, sauf qu’il est virtuel, et qu’il n’a pas de trous (un billard français quoi !). Au lieu de boules, les mathématiciens utilisent des points, qu’ils font se déplacer comme une boule de billard ! Les bords du billard sont appelés des frontières, et celles ci sont un peu magiques : le rebond sur ce type de billard est infini, il n’y a pas de friction ou d’aspérités pour altérer les trajectoires, et l’angle de la trajectoire après rebond est toujours égal à l’angle à l’arrivée à la frontière. En maths, on appelle ça un système dynamique ! Si on dessinait ces rebonds, ça ferait un motif du genre de ceux qu’on obtenait à 8 ans avec notre Spirograph…

Et donc ?

Et donc nos 2 chercheurs ont cherché à prouver mathématiquement l’hypothèse selon laquelle un billard mathématique intégrable (ne rentrons pas dans les détails, mais ils ne le sont pas tous !) strictement convexe prenait forcément la forme d’une ellipse (ovale quoi !)

Elle vient d’où cette hypothèse ?

De la conjecture de Birkhoff (#àTesSouhaits !)  – logique non ?

En vrai, c’est la conjecture de Pierce-Birkhoff, parce qu’ils étaient 2 à écrire le papier de 1956 qui posait les bases de cette conjecture. Mais en vrai, dans ce papier, c’était pas non plus super clair… Donc c’est un troisième larron, également chercheur en mathématiques bien sûr, John Isbell, qui l’a formulée plus précisément et nommée « conjecture de Pierce-Birkhoff ».

Une histoire de fonctions continues polynomiales, de maximums et de minimums…

Bref, tout ça pour dire que localement sur leur petit billard convexe, ça marche !

Et que dans les année 80, y’a aussi d’autres chercheurs qui ont prouvé que cette conjecture marchait pour n=1 et n=2.

Mais au-delà de 2, on ne sait pas…

 

Alors, à vos crayons !

 

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